Notation physikalischer Einheiten

• Physikalische Gleichung
• Größe, Zahlenwert und Einheit
• Das internationale Einheitensystem
• Diagramme, Tabellen und LaTeX
• Dimension
  • Grundprinzip
  • Definition als Potenzprodukt
  • Definition nach SI
• Persönliche Schlussbemerkung

Die Angabe von physikalischen Einheiten ist eine grundlegende, geradezu tägliche Praxis im Leben eines Ingenieurs oder jeder anderen Person mit Praxisbezug zur Physik. Umso erstaunlicher ist es, wie zäh sich eine notorisch falsche Schreibweise, bei der die Einheit von eckigen Klammern umgeben ist, hält. Sie ist nicht nur normverletzend, sondern auch widersinnig. Diese falsche Schreibweise ist einer Pandemie gleich, der Ingenieure auf allen akademischen Ebenen verfallen sind. Es folgt ein Plädoyer für die korrekte Schreibweise.

Update 2021-08-06. Der Abschnitt zur Dimension wurde ergänzt, motiviert durch einen Austausch mit Dieter Fleischmann.

Physikalische Gleichung

Sei es im Fließtext, in Tabellen oder in Diagrammen, sei es im E-Mail, in Präsentationen oder Schriftwerken, ständig sind wir in der Situation, dass wir Zahlenwerte mit physikalischen Einheiten zusammensetzen, um physikalische Größen zu formen. Wollen wir sagen, dass die Zeit \(t\) eben zwei Sekunden beträgt, dann schreiben wir als Gleichung:

\[\begin{align} t = 2 \, \mathrm{s} \end{align}\]

Das ist zunächst keine mathematische Gleichung. Sie drückt einen physikalischen Sachverhalt aus: Sie sagt vorerst lediglich, dass die physikalische Größe \(t\) auf der linken Seite eben dem Ding “zwei Sekunden” auf der rechten Seite entspricht, und das Ding “zwei Sekunden”, oder in einer anderen Schreibweise halt “\(2 \, \mathrm{s}\)”, ist als ein einziges Objekt zu interpretieren.

Erst dadurch, dass wir das eine Ding “zwei Sekunden” nun zerlegen, nämlich in ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit, wird aus der physikalischen Gleichung oben auch eine mathematische Gleichung. Ab jetzt ist “zwei Sekunden” das Produkt aus dem Zahlenwert “Zwei” und der Einheit “Sekunde”; ich möchte beinahe einen Multiplikationspunkt in \(2 \, \mathrm{s}\) hineinsetzen. Jetzt können wir rechnen, nach den üblichen algebraischen Rechenregeln, aber ansonsten nach Lust und Laune. Nutzen wir die neue Freiheit, machen wir einen Ausflug, und formen mathematisch (!) um:

\[\begin{align} \frac{t}{\mathrm{s}} = 2 \end{align}\]

Sie verspüren den Drang eine eckige Klammer um \(\mathrm{s}\) zu setzen? Widerstehen Sie! Fragen Sie sich stattdessen, warum Sie sich diese Kuckucksklammer während der Umformung unterschummeln lassen würden?

Sie wollen die eckige Klammer setzen, damit man weiß, dass \(\mathrm{s}\) die Einheit ist? Zum Ersten ist dem aufmerksamen Leser vielleicht aufgefallen, dass \(\mathrm{s}\) nicht kursiv gesetzt ist – im Gegensatz zu \(t\) – um zwischen Einheit und Größe zu unterscheiden. Zum Zweiten haben wir die eckige Klammer für andere Zwecke vorgesehen. Und zum Dritten wäre das eine Ignoranz gegenüber mathematischer Ästhetik; wo kämen wir da hin, wenn wir bei mathematischen Umformungen nach Wildwestmethoden bedeutungsvolle Klammern einfügen?¹

Größe, Zahlenwert und Einheit

Die eckige Klammer hat natürlich seine Anwendung und das geht so: Eine (skalare) physikalische Größe \(a\) wird, wie oben erwähnt, als Produkt von Zahlenwert und Einheit dargestellt. Oder in einer symbolhaften Schreibweise:

\[\begin{align} a = \{a\} \cdot [a] \end{align}\]

Hier ist \(\{a\}\) die symbolhafte Schreibweise für “der Zahlenwert der Größe \(a\)” und \([a]\) steht für “die Einheit der Größe \(a\)”. Wir können also die Klammern als eine Art “Operator” sehen. Wenden wir das neue Werkzeug gleich für das obige Beispiel von \(t = 2 \, \mathrm{s}\) an:

\[\begin{align} \{t\} &= 2 \\ [t] &= \mathrm{s} \end{align}\]

Zusammen ergibt das eben ganz schlüssig \(t = \{t\} \cdot [t] = 2\, \mathrm{s}\). Aber das ist nicht alles. Wenn wir zwei Größen \(a\) und \(b\) haben, dann leuchtet jedem ein, dass \(\{a \cdot b\} = \{a\} \cdot \{b\}\) für Zahlenwerte gilt, immerhin reden wir hier von reellen Zahlen; die wird man wohl noch multiplizieren dürfen! Nun ergibt es sich, dass das aber auch für Einheiten gilt, also \([a \cdot b] = [a] \cdot [b]\). Sagen wir, eine träge Masse \(m = 3 \, \mathrm{kg}\) erfährt eine (skalare) Beschleunigung \(a = 2 \, \mathrm{m/s^2}\). Dann gilt nun für die (skalare) Kraft \(F\), die dafür verantwortlich ist:

\[\begin{align} F &= m \cdot a\\ &= \{m\} [m] \cdot \{a\} [a] \\ &= 3 \, \mathrm{kg} \cdot 2 \, \mathrm{m/s^2} \\ &= 3 \cdot 2 \cdot \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s^2} \\ &= 6 \, \mathrm{kg \, m/s^2} \\ &= \{m\cdot a\} \cdot [m\cdot a] \\ \end{align}\]

Spürt ihr den Seelenfrieden bei dieser schönen Fügung? Wir rechnen² mit Einheiten! Die Dimensionsprobe ist eine direkte Anwendung. Natürlich wollen wir keinesfalls um jede Einheit eine eckige Klammer geschrieben haben und gleichzeitig die Symbolik für “Einheit der Größe” dafür opfern, denn beides können wir der Eindeutigkeit wegen nicht haben.

Für physikalische Vektoren und Tensoren gilt in Bezug auf die Einheit das oben gesagte gleichermaßen. Es ist nur so, dass etwa eine vektorielle physikalische Größe \(\bf a\) sich nicht als Produkt aus Zahlenwert und Einheit ergibt, sondern stattdessen als Produkt aus (dimensionslosem) Betrag \(|\bf a|\) und Einheitsvektor \(\hat{\bf a}\), also \(\bf a = |a| \cdot \hat{a}\). Daher die etwas unelegante Formulierung mit der skalaren Beschleunigung und skalaren Kraft im obigen Beispiel.³

Das internationale Einheitensystem

Gute Notation ist ein Schlüssel für Kommunikation.⁴ So schreibt etwa der berühmte Mathematiker Whitehead⁵:

By relieving the brain of all unnecessary work, a good notation sets it free to concentrate on more advanced problems, and in effect increases the mental power of the race. Before the introduction of the Arabic notation, multiplication was difficult, and the division even of integers called into play the highest mathematical faculties. Probably nothing in the modern world would have more astonished a Greek mathematician than to learn that, under the influence of compulsory education, a large proportion of the population of Western Europe could perform the operation of division for the largest numbers.

Nun hilft uns die beste Notation nichts, wenn Sie sich nicht als Standard in der Praxis etabliert. Hier kommt das gesetzlich vorgeschriebene SI System zur Hilfe und dieses folgt genau der oben ausgeführten Notation für Einheiten, wie man etwa in dieser (etwas veralteten⁶ 8. Auflage von 2007 der) PTB-Ausgabe nachlesen kann, oder auch in diesem Dokument von Rhode & Schwarz zum normgerechten Umgang mit Größen, Einheiten und Gleichungen. Schlagen Sie im letztgenannten Dokument etwa einmal den Abschnitt Zugeschnittene Größengleichungen sowie Zahlenwertgleichungen nach. In Österreich wird die Verwendung durch das Maß- und Eichgesetz (MEG) seit 1973 gesetzlich vorgeschrieben, so wie das auf ähnliche Weise in vielen anderen Ländern auch der Fall ist.

Das Fundament hierfür hat Julius Wallot in seinem 1953 erschienen Werk Größengleichungen, Einheiten und Dimensionen gelegt, welches ich leider nicht besitze.

Diagramme, Tabellen und LaTeX

In Diagrammen tragen wir an den Achsen keine physikalische Größen auf, sondern nur die Zahlenwerte. (Wir nehmen hier an, dass wir auch tatsächlich Zahlenwerte vorliegen haben.) Ähnliches gilt typischerweise auch für Tabellen, wo wir nicht in jedem Tabelleneintrag die Einheiten mitführen. Wie wir zum Zahlenwert \(\{a\}\) einer Größe \(a\) kommen, wissen wir aber bereits; durch mathematische Umformung:

\[\begin{align} \{a\} = \frac{a}{[a]} \end{align}\]

Das heißt mit anderen Worten, wir tragen in einem Diagramm nicht die Zeit \(t\) auf, sondern \(t/\mathrm{s}\), wir tragen nicht die Masse \(m\) auf, sondern \(m/\mathrm{kg}\).

In LaTeX – die einzige, unangefochtene Textsetzungssoftware für Texte mit Wissenschaftsbezug und überhaupt – empfiehlt sich übrigens die Verwendung des Pakets siunitx. Das Paket sorgt für die richtige Formatierung, von der Wahl der Schriftauszeichnung bis zu den Abständen zwischen Zahlenwert und Basiseinheiten, inklusive Winkelangaben, Prozentangaben, den SI Präfixen, Zahlenausrichtung bei Wertetabellen und so weiter.

Dimension

Grundprinzip

Die ursprüngliche Motivation für diesen Beitrag war die Notation zu Einheiten und die Symbolik zur eckigen Klammer. Wenn man aber diesen Ausflug noch etwas erweitern möchte, dann sei unbedingt ein Besuch beim Begriff der “Dimension” empfohlen.

Wir haben vorhin den Begriff der “Dimensionsprobe” schon erwähnt und um den richtig zu verstehen, muss man vorher den Begriff “Dimension” erklären. Man mag vielleicht wissen, dass die Kraft \(F\) die Einheit “Newton” besitzt, also \([F] = \mathrm{N}\). Andererseits haben wir im Beispiel oben mit der Kraft gesehen, dass \([F] = \mathrm{kg \, m/s^2}\), womit wir rein mathematisch bereits erhalten, dass

\[\begin{align} \mathrm{N} = \mathrm{kg \, m/s^2}. \end{align}\]

Was wir hier sehen, ist, dass wir eine physikalische Größe \(F\) durch andere physikalische Größen definieren und damit auch Einheiten aufeinander aufbauen lassen können. Es entsteht sozusagen ein Gebäude von aufeinander aufbauenden Größen. Das Fundament von diesem Gebäude, die Basis sozusagen, stellen die Basisgrößen und Basiseinheiten dar.⁷

Der bemerkenswerte Clou an der ganzen Sache ist nun folgender nahezu unglaublicher Sachverhalt: Jede, wirklich jede physikalische Größe lässt sich auf sieben Basisgrößen zurückführen. Daraus folgt nun unmittelbar, dass sich jede Einheit als Potenzprodukt von sieben Basiseinheiten darstellen lässt. Sie lauten: Länge (\(l\)), Masse (\(m\)), Zeit (\(t\)), Elektrische Stromstärke (\(I\)), Absolute Temperatur (\(T\)), Stoffmenge (\(n\)) und Lichtstärke (\(I_\mathrm{v}\)) mit den jeweiligen Einheiten Meter (\(\mathrm{m}\)), Kilogramm (\(\mathrm{kg}\)), Sekunde (\(\mathrm{s}\)), Ampere (\(\mathrm{A}\)), Kelvin (\(\mathrm{K}\)), Mol (\(\mathrm{mol}\)) und Candela (\(\mathrm{cd}\)). Dass man einen Sachverhalt über die gesamte Physik derart abgeschlossen behandeln kann, klingt unglaublich.

Die Dimension einer Größe bringt diese Potenzproduktdarstellung einer Größe zum Ausdruck. In Symbolen schreiben wir \(\langle a \rangle\) für die “Dimension der Größe \(a\)”. Von der Einheit \([F]\) der Kraft \(F\) wissen wir, dass

\[\begin{align} [F] = \mathrm{m^1 \, kg^1 \, s^{-2} \, A^0 \, K^0 \, mol^0 \, cd^0} \end{align}\]

und wir könnten das 7-Tupel \((1, 1, -2, 0, 0, 0, 0)\) der Exponenten als die Dimension \(\langle F \rangle\) auffassen.

Für jede physikalische Größe der gesamten Physik gibt es also ein eindeutiges solches 7-Tupel. Das ist meiner Auffassung nach die Kernidee der Dimension. Das ist auch, was sich die Dimensionsprobe zu Nutze macht: Wenn man eine Reihe mathematischer Umformungen macht und am Ende einen Ausdruck für eine gewisse physikalische Größe erhält, dann kann man einfach testen, ob der Ausdruck die notwendige Dimension aufweist!

Nehmen wir etwa Einsteins berühmte Formel \(E = m \, c^2\) für die Äquivalenz von Energie und Masse und fragen uns, ob diese die Dimensionsprobe besteht. Wir brauchen zunächst das Potenzprodukt von Basiseinheiten der Energie. Die mechanische Arbeit (also Energie), die man verrichtet, wenn man eine Kraft \(F\) über einen Weg (Länge) \(s\) ausübt, ist das Integral von \(F\) entlang \(s\) und somit erhalten wir

\[\begin{align} [E] = \mathrm{m^2 \, kg^1 \, s^{-2} \, A^0 \, K^0 \, mol^0 \, cd^0}. \end{align}\]

In Einstein’s Formel hat \(c^2\) die Einheit \(\rm m^2 \, s^{-2}\) und zusammen mit \(\rm kg\) für die Einheit der Masse \(m\) können wir bestätigen, dass \(m \, c^2\) und Energie die gleiche Dimension aufweisen: Beide Größen weisen das gleiche 7-Tupel auf. (Dass Energie verschiedenste Formen annehmen kann, etwa elektrisch, kinetisch, thermisch und so weiter, und alle diese Dinge am Ende Energien sind und daher die gleiche Dimension aufweisen, ist für sich bemerkenswert. Das zu akzeptieren ist meines Erachtens ein wichtiger Schritt für das Verständnis vom Begriff “Energie”.⁸)

Definition als Potenzprodukt

Die Definition der Dimension über 7-Tupel wäre allerdings etwas unpraktisch, da wir nun die Reihenfolge der Basiseinheiten fixieren müssten und wer möchte sich das schon merken müssen. Daher wird die Dimension meist anders definiert. Man definiert die Dimension etwa schlicht als das Potenzprodukt von Basiseinheiten⁹, was für unser Beispiel bedeuten würde, dass

\[\begin{align} \langle F \rangle = \mathrm{m^1 \, kg^1 \, s^{-2} \, A^0 \, K^0 \, mol^0 \, cd^0} = \mathrm{kg^1 \, m^1 \, s^{-2}} \end{align}\]

Das ist dem Sinn nach die gleiche Definition, denn die Information der Dimension steckt in den Exponenten, nur dass wir jetzt keine Reihenfolge der Basisgrößen mehr festlegen müssen.

Definition nach SI

Das SI macht es formal noch einmal etwas anders, aber verfolgt den gleichen Sinn: Es wird jeder Basisgröße eine Dimension des selben Namens zugeordnet, nur werden die Symbole angepasst. Sie werden insbesondere aufrecht geschrieben. Wir erhalten so die folgenden sieben Dimensionen: Länge (\(\rm L\)), Masse (\(\rm M\)), Zeit (\(\rm T\)), Elektrische Stromstärke (\(\rm I\)), Absolute Temperatur (\(\rm Θ\)), Stoffmenge (\(\rm N\)) und Lichtstärke (\(\rm J\)). Für die Zeit \(t\) erhalten wir damit etwa die Dimension \(\langle t \rangle = \mathrm{T}\).

Für die Definition von Größen, die keine Basisgrößen sind, führen wir über Größengleichungen auf Basisgrößen zurück. Am Beispiel der Kraft von oben:

\[\begin{align} \langle F \rangle = \langle m \cdot a \rangle = \langle m \cdot \ddot l \rangle = \mathrm{M L T^{-2}} \end{align}\]

Auch hier läuft die Definition der Dimension wieder auf die Exponenten hinaus. Die beiden Resultate, einmal nach der Definition als Potenzprodukten und einmal nach der Definition nach SI, lassen sich trivial hin und her übersetzen.

Die Definition nach SI ist aus einem formalen Standpunkt heraus attraktiv, da klar zwischen Dimension und Einheit (insbesondere Basiseinheit) unterschieden wird. Die Definition basierend auf Potenzprodukten von Basiseinheiten ist attraktiv, da diese geringeren formalen “Overhead” aufweist. Die Definition über 7-Tuple ist wohl der natürliche Zugang für Mathematiker und Informatiker, wenn eine maschinelle Formalisierung angestrebt wird. Das Modul Units der C++ Bibliothek Boost orientiert sich daran.

Persönliche Schlussbemerkung

Dass Falschanwendungen der eckigen Klammern derart weit verbreitet sind, überrascht mich persönlich vielleicht auch deshalb, weil ich die korrekte Notation in den ersten Wochen in der ersten Klasse an der HTL Braunau bei meinem damaligen Lehrer Dieter Fleischmann gelernt habe.

An dieser Stelle empfehle ich wärmstens das von ihm geschriebene Fachbuch Basiswissen Elektrotechnik, und konkret Abschnitt 1.3 Darstellung physikalischer Größen. (Es ist das einzige mir bekannte Fachbuch mit geistreichem Witz.) Das Buch beschreibt sich selbst wohl am besten:

Die Beschreibungen aller technischen Verfahren und Methoden werden ausnahmslos auf die zugrunde liegenden physikalischen Naturgesetze zurückgeführt. Dadurch unterscheidet sich die Darstellung von allen anderen über dasselbe Sachgebiet.

So ist es.